Az összetett százalékos változások kiszámítása

Soroban a gyors számolásért

David Wilson

Mi az összetett százalékos változás?

Mindannyian tisztában vagyunk a százalékos változásokkal. Legyen szó akár 25% -os kedvezménnyel egy új televízió költségeiről a fekete pénteki értékesítésben, vagy 5% -os emelkedésről a vonatdíjakban (ismét), az összeg százalékos megváltoztatása mindennapi képesség. De mi a helyzet az összetett százalékos változásokkal?

Képzelje el, hogy 100 fontot tesz be a bankba egy megtakarítási számlára, évente fix 4% -os kamatlábbal. Az év végén (feltételezve, hogy nem nyúlt hozzá az eredeti befizetéshez) a pénze 4% -kal nő, ami további 4 fontot és összesen 104 fontot jelent a számlán.

Ha az összes pénzt egy évig hagyja a számlán, akkor mi történik? Kap még 4 fontot és összesen 108 fontot a bankban? Nem. Második évre nem csak 4% -ot kap az eredeti 100 fontjához, amely még mindig a bankban van, hanem 4% -ot is kap az extra 4 fontért, amelyet az előző évben kamatozással keresett. A 104 font 4% -a 4,16 font, vagyis a második év végén 104 font + 4,16 font = 108,16 font lesz a számláján. Feltéve, hogy egy pillanatban nem érinti a pénzt, és hogy a 4% -os kamatláb állandó marad, évente több pénzt fog keresni, mivel a számláján lévő összeg emelkedik. Ez összetett kamat.

Megjegyzés: Ha csak minden évben megkapta a 4 fontot, ezt egyszerű kamatnak nevezzük.

Hogyan számoljuk ki az összetett százalékos növekedést

Nézzük meg, hogyan lehet kiszámítani az összetett százalékos növekedést (összetett kamatként is ismerhetjük, ha olyan példákkal foglalkozunk, mint a miénk).

A korábbiakhoz hasonlóan 100 font banki számlával és fix 4% -os kamatlábbal indul. Megtalálhatnánk 4% -ot úgy, hogy elosztjuk a 100 fontot 100-zal, hogy 1% -ot kapjunk, majd ezt megszorozzuk 4-gyel. Ez egy évig jó, de ha ki akarjuk deríteni, mennyi lesz a számlánkon 5 vagy 10 évvel a sorban, hosszú időbe telik.

Ehelyett valami szorzó módszert fogunk használni. Ha az eredeti betétünket 100% -nak nevezzük, akkor 4% -os emelés után 104% -ot fogunk elérni. Az összeg 104% -ának kiszámításához először a százalékot tizedessé alakítjuk, elosztva 100-zal, így 104/100 = 1,04. Ha megszorozzuk ezt az 1,04-et, akkor egy összeg 4% -kal nő.

Például 100 fontot kell kezdenünk, így egy év után 100 fontunk 1,04 = 104 fontunk. Egy év múlva 104 font x 1,04 = 108,16 font, majd 108,16 font és 1,04 = 112,49 font és így tovább. Azonban még jobban felgyorsíthatjuk.

Szorzunk ugyanazzal a szorzóval, 1,04-gyel minden eltelt évben egyszer, tehát ha azt szeretnénk, hogy az összeget több évvel később megtaláljuk, akkor sokszor 1,04-gyel megszorozhatjuk erők felhasználásával.

Például 5 év után 100 fontunk lesz 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 x 1,04 font, ami megegyezik 100 x 1,04 ⁵ = 121,67 fontkal.

25 év után 100 fontunk lesz 1,04 ²⁵ = 266,58 font. Képzelje el, mennyi időbe telt volna, ha minden évre külön 4% -ot dolgozunk ki!

Egy másik példa a vegyület százalékos növekedésére

Próbálkozzunk egy másik példával a vegyület százalékos növekedésére.

Egy város lakossága évente 12% -kal növekszik. Ha 30 000 embernél kezdődik, és feltételezve, hogy ez a növekedés állandó marad, mi lesz a népesség 6 év múlva? Mi lesz 20 év múlva?

Tehát 100% -kal kezdjük, és 12% -os növekedést szeretnénk elérni, így 112% -ot kapunk, ami tizedesjegyként 1,12.

Ezért 6 év után a népesség 30 000 x 1,12 ⁶ = 59 215 lesz.

20 év után 30 000 x 1,12 ²⁰ = 289 389 lesz.

Mi a helyzet a vegyület százalékos csökkenésével?

Összetett százalékos csökkenés (más néven összetett bomlás) az, amikor egy mennyiség ugyanazzal a százalékkal többször csökken. Ennek megállapítására szolgáló módszer nagyon hasonló a növekedés megállapításához.

Tegyük fel, hogy vásárolt egy autót 20 000 fontért, és évente az autó értéke 15% -kal csökken. Meg akarjuk tudni, mennyit fog érni az autó öt év múlva.

Megtalálhatjuk a 20 000 font 15% -át, kivonhatjuk ezt, majd megtalálhatjuk az új összeg 15% -át és így tovább, de ez megint eltart egy ideig. Ehelyett nézzük meg a szorzók használatát, ahogy fentebb tettük.

Ha 100% -nál kezdjük, 15% -os csökkenés 85% -ot hagy bennünk. Tehát ahelyett, hogy ezt minden évben 15% -os csökkenésnek tartanánk, inkább 85% -osnak találhatjuk. A tizedesjegy 85% -a 85/100 = 0,85, ezért a 85% megtalálásához szorozzuk 0,85-tel. Ehhez többször használjuk a fentiekhez hasonló erõket.

Tehát visszatérve az autónkra, 5 év után az érték 20 000 font x 0,85 ⁵ = 8 874,11 font lesz.

10 év után az érték 20 000 font x 0,85 ¹⁰ = 3 937,49 font.

További példákért tekintse meg az alábbi videót.

Összetett érdeklődés a DoingMaths YouTube csatornán

© 2020 David